Rotasi pada Bidang Cartesius

1. Rotasi dengan pusat O sejauh 90⁰ berlawananan arah putaran jarum jam (Rotasi 90⁰).
Perhatikan animasi berikut ini!


Rotasi titik A(3, 5) oleh rotasi R[O, 90⁰] menghasilkan bayangan titik A’ (-5, 3)R

Coba kalian perhatikan animasi tersebut!

Titik A(3,5) dirotasi [O,90⁰] cara menggambarnya adalah sebagai berikut :


• Buatlah busur lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OA berlawanan dengan arah putaran jarum jam.
• Buatlah sudut 90⁰ di titik O dengan kaki sudut OA dan kaki sudut lain memotong busur lingkaran di titik
  A’ (-5,3).
• Jadi titik A’ (-5,3) merupakan bayangan titik A(3,5).

Dapat pula ditulis sebagai berikut :





Berdasarkan rotasi tersebut, maka dapat kita simpulkan :

Pada rotasi[O, 90⁰], maka bayangan titik A(x,y) adalah A’(-y,x)

Dan dapat ditulis :






Contoh soal :
Sebuah pesawat berada pada titik koordinat P(20,60) bergerak berputar sejauh 90⁰ terhadap titik asal menuju titik P’. Tunjukkanlah koordinat tujuan pesawat tersebut pada koordinat cartesius.

Soal tersebut dapat diperjelas dengan animasi sebagai berikut :


Pesawat terbang berputar 90⁰ dengan pusat titik O menuju titik
P’(-60, 20)

Jawaban :
Titik asal pesawat itu titik P(20,60) kemudian berputar 90⁰ menuju titik Q, maka dapat dituliskan sebagai berikut :






Jadi posisi pesawat itu sekarang berada padatitik Q dengan koordinat (-60,20)


2. Rotasi dengan pusat O sejauh 90⁰ searah putaran jarum jam (Rotasi -90⁰)
Animasi berikut akan menjelaskan proses rotasi -90⁰.




Coba kalian perhatikan animasi tersebut!

Titik A(4,2) dirotasi [O,-90⁰] cara menggambarnya adalah sebagai berikut :


• Buatlah busur lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OA searah putaran jarum jam.
• Buatlah sudut -90⁰ di titik O dengan kaki sudut OA dan kaki sudut lain memotong busur lingkaran di titik
  A’ (2,-4).
• Jadi titik A’ (2,-4) merupakan bayangan titik A(4,2).

Dapat pula ditulis sebagai berikut :






Berdasarkan rotasi tersebut, maka dapat kita simpulkan :

Pada rotasi[O, -90⁰], maka bayangan titik A(x,y) adalah
A’(y,-x).

Dan dapat ditulis :






Contoh soal :
Sebuah balon udara berada pada posisi (-15,38) di titik A, jika balon udara tersebut berputar searah jarum jam sejauh 90⁰, pada koordinat berapakah posisi balon udara sekarang?

Soal tersebut dapat diselesaikan dengan bantuan animasi berikut:




Gambar balon udara pada posisi titik A(-15, 38) dirotasi [O, -90⁰] menuju titik A’(38, 15)


Jawaban :
Titik awal balon udara adalah (-15,38) kemudian balon udara tersebut berputar searah jarum jam sejauh 90⁰, maka permutaran/rotasi balon udara tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :






Jadi posisi balon udara sekarang berada pada koordinat (38,15)


3. Rotasi dengan pusat O sejauh 180⁰
Rotasi 180⁰ artinya titik A diputar 180⁰ berlawanan arah jarum jam. Animasi berikut akan memperjelas proses rotasi ini.




Gambar titik A(5, 2) dirotasi [O, 180⁰] menghasilkan titik A’[-5, -20]


Titik A(5,2) dirotasi [O,180⁰] cara menggambarnya adalah sebagai berikut :


• Buatlah busur lingkaran dengan pusat O dan jari-jari OA berlawanan dengan arah putaran jarum jam.
• Buatlah sudut 180⁰ di titik O dengan kaki sudut OA dan kaki sudut lain memotong busur lingkaran di titik A’(-5,-2).
• Jadi titik A’(-5,-2) merupakan bayangan titik A(5,2).

Dapat pula ditulis sebagai berikut :






Berdasarkan rotasi tersebut, maka dapat kita simpulkan :

Pada rotasi[O,180⁰], maka bayangan titik A(x,y) adalah
A’(-x,-y),

Dan dapat ditulis :






Contoh soal :
Sebuah kapal selam berada pada posisi (26,-12) karena dihadapannya ada sebuah batu karang besar, kapal selam itu harus berputar sejauh 180° untuk menghindari tabrakan. Tentukan posisi kapal selam itu pada koordinat cartesius!

Soal tersebut dapat dijelaskan dengan animasi berikut :




Gambar kapal selam bergerak dari titik A karena rotasi [O, 180°] menuju titik A’


Jawaban :
Kapal selam itu mula-mula berada pada posisi (26,-12) kemudian berputar sejauh 180°, maka dapat dituliskan sebagai berikut :




Jadi posisi kapal selam tersebut berada pada koordinat (-26,12)